No hay camino de reyes en geometría. LLMs y euclides

El título de esta entrada obedece a una frase que se atribuye a Euclides hace más de 2.300 años cuando un alumno se interesa por una vía "menos fatigosa" para aprender geometría.

La obra cumbre sin duda de Euclides es "Los Elementos" donde se da una axiomatización de la Geometría Euclídea (ya que actualmente hay muchas), y fue básicamente uno de los libros (había pocos libros y pocos lectores claramente) más leído de la antiguedad - edad media tras la Biblia.

Admito que no es un libro que lea de "cabo a rabo" eso sí de vez en cuando lo abro y trato de imaginarme algunos resultados, en concreto hoy me ha inspirado el siguiente:

Elegantemente Euclides emplea el conocido método de "Reductio ad absurdum" y básicamente viene a decir que si un círculo interior es tangente a otro, la línea que une sus centros corta también al punto de tangencia porque si no, se tendría una contradicción (es un poco costoso seguir la "literatura" de la traducción usada, pero trata de preservar el cómo se habría expresado originalmente), se está ante la proposición 11 del Libro III, demostrando también en la 12 que lo anterior tendría también lugar si los círculos se tocasen por fuera.

En todo caso, a pesar de que según se cuenta Euclides tenía fama de estricto en la enseñanza de su método, estoy seguro de que con la tecnología actual hubiera al menos podido crear buenas motivaciones tanto a esta como a muchas de sus proposiciones, haciéndolas un poco más llevaderas y visuales y en este sentido, aunque existen programas como Cabri que permitirían expresar las condiciones y verificar que efectivamente se cumplen las tesis de dichas proposiciones 11 y 12, sin embargo, a mí me a dado por crear un sencillo programa Shiny usando LLMs (primero Claude que no lo consiguió aunque dió alguna pista y después Gemini que lo acabó perfectamente) generando el siguiente programa que dejo en mi git por si a alguien le interesa.

En suma, se tiene un Shiny sencillote que permite manipular para los 2 casos de tangencia interior / exterior los radios de los cículos y las posiciones relativas, observándose en todo momento que la línea recta de los centros de los círculos siempre corta tal y como se observa en la siguiente figura:

Estoy seguro que Euclides estaría convencidísimo de que esto era así incluso antes de haber iniciado la demostración pero el hecho en sí no era plantearse si era o no evidente, el tema es que había que demostrarlo, ese es el auténtico reto intelectual, y ese desde mi punto de vista es uno de los grandes legados del mundo griego "no te fíes de tus ojos", y demuéstralo

Para finalizar y aunque estoy de acuerdo en que "no hay camino de reyes para la geometría", sin embargo, se puede enseñar de muchas maneras, y sin duda una de las mejores es la visual, creo que para que entre la aridez posterior y necesaria de toda enseñanza de este tipo, primero debe mostrarse su belleza y contar al menos un poco de su historia.