El 5º axioma de Euclides un record guines en su resolución

De vez en cuando me da por leer geometría. Un libro que me costó mucho encontrar y que en Madrid hallé en la emblemática Casa del Libro de Gran Vía, fue la edición de los libros I-IV de Elementos, cuya autoría se refiere a Euclides del cual, aunque no hay referencias exactas de su nacimiento y muerte, si existen menciones y parece que vivió sobre el 300 a. C.

Pues bien, lo que hizo este tal Euclides hace más de 2.300 años es lo que intentó el gran David Hilbert en 1.899, dando 21 aximas para la geometría Euclídea.

El libro de los Elementoa es además famoso porque aparte de ser aún el libro más editado tras la Biblia, ha traído polémica durante más de 2 milenios, lo cual es una de las fortunas de alguien que estudia matemáticas y es que entre su bagaje de estudio está, por supuesto el conocer la polémica del Axioma de las paralelas, un problema que ha traído de cabeza a los más insignes matemáticos.

Euclides enuncia 5 postulados en su Libro I, para utilizarlos en las deducciones posteriores a lo largo de toda su obra, dichos postulados son (según la edición de la foto de la conocida Editorial Gredos):

• Postúlese el trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera

• Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta

• Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia

• Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí

Hasta aquí, bien, pero entonces llega el 5º postulado que dice:

• Y que si una recta al incidir sobre 2 rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que 2 rectos, las 2 rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos

Claramente, y para esto no hay que ser muy matemático, si se ve el último postulado y se compara con los anteriores, se observa que es notoriamente más grande y enrevesado su enunciado. Por otro lado. se puede observar que en ningún caso se introduce el concepto “infinito” que tan de cabeza ha traído siempre a los griegos, y sobre todo se observa el carácter marcadamente geométrico de estos enunciados y es que como se cita, los geómetras griegos son matemáticos de otra universidad.

Pues bien el este 5º axioma puede demostrarse que es equivalente al siguiente enunciado que se corresponde más con lo que se conoce como axioma de las paralelas:

• Dada una recta y un punto exterior a ella, existe una y sólo una paralela a la recta y que pasa por dicho punto
  

El problema que desde la Antigua Grecia se plantea es que se pensaba que era posible eliminar el 5º axioma y demostrarlo a partir de los 4 anteriores más una serie de definiciones previas y nociones comunes, así pues, con este libro es todo un compendio de la geometría de la “regla y compás”, para un griego, un punto era algo físico que se podía separar de otro punto y a lo que siempre se podía llegar mediante un procedimiento de “regla y compás” acorde a los Elementos.

Para no hacer mucho más extenso este post y no aburrir demasiado paro aquí, sin antes indicar que es un tema que volveré a tratar y darle más profundidad, porque al final tras 2200 años Bolay y Lobachevsky publican, durante la primera mitad del XIX, una solución a esta polémica pero sin saber que alguien más conocía la solución ¿Quién será? … Claramente la falta de internet de la época no permitía la difusión de conocimientos que existe en la actualidad